胜吉十九年九月二十六，由于有了昨日的铺垫，沈方干脆在草庐中支起了黑板，给沈披、沈括及三个兄弟讲起了数学和音乐。

若说“理生气并寓于气中”、“理在气先”的最佳证据，非数学和音乐莫属。

沈方在昌国技术学院培训过大工基本的数学，其讲稿被收集起来，供沈披、沈括及沈家子侄学习，对于用数字计数及基本的四则运算，沈德等人已颇为熟悉，沈方快速复习一遍后，开始引入代数和方程的概念。用抽象的符号来代替数字，使难度一下子上升了许多，沈披、沈括自己可以很快适应，但沈德、沈封、沈朗三个兄弟却直挠头。沈方只好把x、y这些符号换成一筐苹果、一篮梨等，等三个兄弟熟悉了方程式后，再用x、y这些字母将具象化的苹果和梨取代回来。

“a、b、c、d、x、y这些符号仅仅代表一个数而已，大家死记住就行了。”沈方轻吐一口气，开始介绍一些最基本的最基本的几何定理。欧式几何从二十六个定义，五个几何公理，五个一般公理开始，由这十条公理推导出整个庞大的欧几里得体系。很显然《几何原本》并不适合沈德这样的小孩子学习，其严密的逻辑适合数学家去学习研究，一般人只需要学会使用其中的定理即可。

“勾股定理大家知道吗？”

“勾三、股四、弦五。”沈德大声说道。

“这是勾股定理的特例，”沈方一边点头，一边随手在黑板上画了一个直角三角形。“勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。”

“那么，如何勾股定理如何证明呢？”

“通过青朱出入图。”沈括当然知道证明方法，便在黑板上直角三角形的基础之上，以长、短边各画了两个正方形，并注明青方、朱方，然后再以斜边画了一个正方形与两个小正方形相交。正方形相交部分，割出来六个大小不等的三角形，沈括将两个小正方形被割出的部分补进大正方形空下的部分，刚好补满。

沈括采取的方法是是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，通俗易懂，沈德等三人看了一会儿，终于看懂了，每个人都兴奋起来。

“勾股定理的证明方法有几百种，刚才爹爹用的是几何证明法，我这里也有一个几何证明法，乃是一名姓毕的数学家所发明。”

“可是毕昇的族人？”沈披问道。

沈方一愣，倒是没想到沈披会联想到前日提过的毕昇，“大伯，这毕氏却不是我华夏之人，乃是与孔圣人同一时期，极西之欧罗巴洲希腊国之人，全名叫毕达格拉斯，这毕氏认为世界皆可以用数字来描述，并把音乐当做数学的应用，用来展示数字的完美。当初，他发现并证明勾股定理后宰杀了一百头公牛来感谢神灵赐予灵感。”

小孩子们“哇”地叫出声来，不知道是赞叹毕氏的大手笔，还是惊讶于毕氏的残忍。

沈方在黑板上面了一个直角三角形，并顺着两条直角边延长至两条直角边之和的长度，并以这个长度画了一个正方形。然后再延着这个大正方形内侧画了三个与原来直角三角形相同的三角形，并构成了风车的形状。

“大家看，四个三角形的斜边正好构成一个正方形，这个面积就是斜边的平方，”沈方将四个三角形两两对应，形成两个长方形，并用这两个长方形，在大正方形里围成一大一小两个正方形，“大家看，这两个小正方形正好各是两条直角边平方。”

这个方法直观明确，比刚才沈括介绍的青朱出入图更容易理解，孩子们一下便看明白了，就连沈披、沈括也赞叹道，“果然巧妙，值一百头公牛。”

“上面两个是几何图形证明法，我再给大家介绍两个计算推理方法。”

沈方在刚才毕氏证明方法的图之上，标清a、b、c，其中a、b是直角边，c是斜边。

“这个大正方形的面积等于（a+b）的平方，同时也等于四块小三角形加中间小正方形的平方。三角形的面积公式刚才讲了是a乘b除以2，那么大家看这个方程式。”

沈方在黑板上写下：

1/2（a*b）*4+c^2=（a+b）^2

2ab+c^2=a^2+2ab+b^2

最后沈方将等式两边的2ab划掉，说道，“把两边的2ab删掉，正好得到两边长的平方之和等于斜边的平方。”

沈披和沈括看得很清楚，包括其中的计算过程也非常简单，他们竟然看呆了，孩子们也发出惊叹声，“这么简单！？”

“发明这个证明方法的人后来成了一个国家的国王，他的名字叫加菲尔德，也是很远地方的外国人。”

“还有一个方法吗？！”沈括有些急切得问道。

“最后再讲一个方法，也很巧妙，发明这个方法的是一个十二岁的外国少年，名字叫爱因斯坦。”沈方没有提加菲尔德和爱因斯坦的年代，也没有办法提，只好让孩子们认为同样是古人。

沈方在黑板上面画了一个大点的直角三角形，并将两条直角边标上a、b，将斜边标上c。然后将每条边对应的顶点，标上大写的ABC，然后从C点，向AB边画了一条垂线，与AB边相交，交点标明为D点。

“从直角的这个点，C点向斜边画一条垂线，这时形成两个小三角形，三角形ACD和三角形BCD，这两个三角形和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的性质，不同相似三角形各边的比例相同，可以得到以下公式。”

沈方在黑板上写下：

AB/AC=AC/AD

AB/BC=BC/BD

AC^2=AB*AD

BC^2=AB*BD

AC^2+BC^2=AB*AD+AB*BD=AB*(AD+BD)=AB^2

“AC和BC分别是两条直角边b和a，AB是斜边c，两边长的平方之和等于斜边的平方。“

虽然这个证明方法比加菲尔德证明方法稍难一点，但是只要认真看清楚线段之间的对应关系，还是很容易就理解了，这个证明方法只添加了一条垂线，便用纯代数的方法证明了勾股定理，让沈括、沈披两人对爱因斯坦这个小孩子产生了兴趣。